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Aportaciones pictóricas y teóricas de las perspectivas de cuadro inclinado y esférica.
(2012-02-02) Serrano León, David; Bellas Artes
Los sistemas espaciales menos frecuentes en la historia de la pintura son los de cuadro inclinado y esférico. Como sabemos, casi todos los artistas practicaron la perspectiva lineal en sus obras, por tanto nuestra intención es la de centrarnos en los pocos creadores que intuyeron en estos métodos un camino diferente al convencional.
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Clasificación de toros llanos lorentzianos en espacios tridimensionales
(2012-06-05) León Guzmán, María Amelia; Pastor González, José Antonio; Mira Carrillo, Pablo; Matemáticas
Un problema clásico en geometría lorentziana es la descripción de las inmersiones isométricas entre los espacios lorentzianos de curvatura constante. En este trabajo nos centramos en la clasificación de las inmersiones isométricas del plano lorentziano en el espacio anti-de Sitter tridimensional. Damos una fórmula de representación de estas inmersiones en términos de pares de curvas (con posibles singularidades) en el plano hiperbólico. Esto nos permite resolver los problemas propuestos por Dajczer y Nomizu en 1981. De entre todas las inmersiones isométricas del plano lorentziano en el espacio anti-de Sitter, algunas de ellas corresponden a toros lorentzianos (los ejemplos más sencillos son los toros de Hopf). Como aplicación de nuestra anterior descripción, probamos que todos estos toros pueden obtenerse a partir de dos curvas cerradas en el espacio hiperbólico. Finalmente, demostramos que los toros de Hopf son los únicos toros llanos lorentzianos inmersos en una amplia familia de sumersiones de Killing lorentzianas tridimensionales. A classical problem in Lorentzian geometry is the description of the isometric immersions between Lorentzian spaces of constant curvature. We investigate the problem of classifying the isometric immersion from the Lorentz plane into the three-dimensional anti-de Sitter space, providing a representation formula of these isometric immersions in terms of pairs of curves (possibly with singularities) in the hyperbolic plane. We then give an answer to the open problems proposed by Dajczer and Nomizu in 1981. Among all isometric immersions of the Lorentz plane into the anti-de Sitter space, some of them are actually Lorentzian tori (the basic examples are the Hopf tori). As an application of our previous description, we prove that any such torus can be recovered from two closed curves in the hyperbolic plane. Finally, we prove that Lorentzian Hopf tori are the only immersed Lorentzian flat tori in a wide family of Lorentzian three-dimensional Killing submersions.
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Conferencia: 'Geometría y análisis tras una película de jabón'
(2008-10-31) Urbina, Luis
Conferencia: 'Geometría y análisis tras una película de jabón', a cargo de Pablo Mira Carrillo, Premio de investigación José Luis Rubio de Francia. Salón de Actos de la Facultad de Matemáticas. Campus de Espinardo.
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Entre la razón y el mito: arte y ciencia en la divina proporción
(Universidad de Murcia. Servicio de Publicaciones, 2008) López Vílchez, Inmaculada
Históricamente el estudio de las proporciones supone uno de los campos de mayor atractivo donde se integran perfectamente Arte y Geometría en la creación consciente de obras. La Divina Proporción puede ser considerada un emblema de este conocimiento compartido. El interés que demuestran por ella artistas, arquitectos, matemáticos, filósofos, estetas… aumenta con el tiempo y en este estudio se expone una revisión del fenómeno, analizando las fases que han convertido una sencilla relación geométrica en el mito contemporáneo que la identifica como la clave de la belleza universal. Se constata cómo los artistas buscan apoyo en la Ciencia, en este caso la Geometría, para encontrar respuestas en su anhelo de búsqueda de la perfección en la obra de arte y se cuestiona la veracidad de numerosos estudios que atribuyen el uso de esta proporción a artistas y obras de todas las épocas desde la especulación subjetiva.
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Figuras planas: una nueva enseñanza es posible
Zaragoza López, Alba; Educación
En el presente trabajo se ofrece al lector una reflexión sobre la planificación y puesta en práctica de una unidad didáctica, llevada a cabo en el aula de 3o de Educación Primaria durante el periodo de prácticas escolares II. La metodología de dicha unidad se basa en la enseñanza de una Geometría en la que el alumno es el constructor de su propio conocimiento a través de materiales didácticos y diversas actividades dinámicas, frente a una enseñanza de la Geometría tradicional, en la cual los contenidos son transmitidos de manera oral como una sucesión de conceptos y explicaciones a través de la pizarra. El estudio pone de manifiesto la relevancia que tiene emplear la metodología citada, ya que gracias a la puesta en práctica de la misma durante toda la unidad didáctica, se consiguieron: aprendizajes significativos y una incentivada motivación del alumnado en cada una de las actividades que componen las diversas sesiones que dan sentido a la unidad. El objetivo es concienciar a los docentes que son imprescindibles nuevos planteamientos en los que el alumno participe en el proceso de enseñanza-aprendizaje haciendo uso de los principios constructivistas.
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Hipersuperficies en los espacios forma pseudo-riemannianos satisfaciendo L_K\PSI=A \PSI+B
(2014-05-20) Ramírez Ospina, Héctor Fabián; Lucas Saorín, Pascual; Facultad de Matemáticas
Abstract It is well known that Takahashi's Theorem [7] characterizes the submanifolds in the Euclidean space whose coordinate functions are eigenfunctions of the Laplacian associated to the same nonzero eigenvalue: they are minimal submanifolds in a hypersphere. Later on, many authors have obtained different extensions of Takahashi's Theorem. One of these extensions is given by Dillen-Pas-Verstraelen in [2]. In that work, the authors study surfaces in the 3-dimensional space whose immersion ψ satisfy Δψ=Aψ+b, where Δ denotes the Laplacian operator, A is a 3x3 real matrix and b is a constant vector. They obtain that the only surfaces satisfying that equation are minimal ones, spheres and circular cylinders. After that different authors have studied this condition in the case of hypersurfaces Mn immersed in pseudo-Euclidean spaces Rn+1 for any index t≥0, and showed that Mn must be an open part of a minimal Rn+1 surfaces, a totally umbilical hypersurface or a standard pseudo-Riemannian product. Recently, that equation has been extended to operators different to the Laplacian one. In fact, Alías and Gürbüz study in [2] hypersurfaces in the Euclidean space Rn+1 whose position vector ψ satisfies Lkψ=Aψ+b, where Lk is the linealized differential operator associated to the mean curvature of order k+1, for k=0, 1,..., n-1 (note that for k=0 we obtain the Laplacian operator). Those authors show that the only hypersurfaces satisfying the above condition are k-minimal hypersurfaces, hyperspheres and generalized cylinders (for appropriate radii and dimensions). In view of that result for operators Lk, we study the same condition but for hypersurfaces immersed in pseudo-Euclidean spaces Rn+1 for any index t≥0, and show (in papers [5] and [6]) that the only hypersurfaces in the pseudo-Euclidean spaces satisfying that condition are k-minimal hypersurfaces, hyperspheres and generalized cylinders (for appropriate radii and dimensions). After solving the problem for hypersurfaces in pseudo-Euclidean spaces, we study the condition Lkψ=Aψ+b for hypersurfaces immersed in pseudo-Riemannian space forms, for arbitrary index t≥0 and nonzero constant curvature. We show (in papers [3] and [4]), that the only hypersurfaces satisfying that condition are k-minimal hypersurfaces, totally umbilical hypersurfaces, standard pseudo-Riemannian products and some quadratic hypersurfaces. In conclusion, the results obtained in this Thesis extend completely to pseudo- Euclidean spaces and pseudo-Riemannian space forms of nonzero constant curvature the results previously obtained in [2]. References [1] L.J. Alías and N. Gürbüz. An extension of Takahashi theorem for the linearized operators of the higher order mean curvatures, Geom. Dedicata 121 (2006), 113-127. [2] F. Dillen, J. Pas and L. Verstraelen. On surfaces of finite type in Euclidean 3-space, Kodai Math. J. 13 (1990), 10-21. [3] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in non-flat Lorentzian space forms satisfying Lkψ=Aψ+b , Taiwanese J. Math. 16 (2012), 1173-1203. [4] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in non-flat pseudo-Euclidean space form satisfying a linear condition in the linearized operator of a higher order mean curvatures, Taiwanese J. Math. 17 (2013), 15-45. [5] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski space satisfying Lkψ=Aψ+b , Geom. Dedicata 153 (2011), 151-175. [6] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in pseudo-Euclidean space satisfying a linear condition on the linearized operator of a higher order mean curvatures, Diff. Geom. and its Appl. 13 (2013), 175-189. [7] T. Takahashi. Minimal immersions of Riemannian manifolds, J. Math. Soc. Japan 18 (1966), 380-385.
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Lexicografía, traducción y terminología: relaciones a partir de Della Geometria di Orontio Fineo tradotte da Cosimo Bartoli (Venetia, 1587).
(Universitat d'Alacant, 2015-01-27) Sánchez Martín, Francisco Javier; Lengua Española y Lingüística General
Los libros matemáticos compuestos por el matemático francés Oronce Finé gozaron de una importante difusión en el siglo XVI, como evidencian las traducciones de su obra sobre geometría, óptica, geografía y astronomía: Protomathesis. Opus varium. Nuestro interés, en esta ocasión, se centra en Della Geometria, el segundo de los libros del volumen Opere di Orontio Fineo del Delfinato, divise in cinque parti, traducida por Cosimo Bartoli (Venetia, Francesco Franceschi Senese, 1587). Realizamos un estudio terminológico comparado entre el texto fuente y esta traducción italiana, lo que nos permitirá observar los procesos de convergencias léxicas propios de este léxico de origen grecolatino, por un lado, así como estudiar los neologismos formales y semánticos en este ámbito, por otro. Finalmente, constataremos el empleo de idénticos mecanismos para la difusión de este vocabulario científico, tanto en latín como en italiano.
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Mediar entre emoción y juicio. Soledad Sevilla.
(MNCARS, 2024-09-20) Isabel Tejeda Martín; Bellas Artes; Facultades de la UMU::Facultad de Bellas Artes
Isabel Tejeda explora la trayectoria artística de Soledad Sevilla como una negociación continua entre el rigor formal y la resonancia emocional. Tejeda sitúa la obra de Sevilla dentro de un canon más amplio de la abstracción geométrica, al tiempo que muestra cómo su arte trasciende sus orígenes analíticos mediante una sensibilidad poética persistente. Motivos centrales como la línea, la retícula, el ritmo y la variación reaparecen a lo largo de los seis decenios de práctica de Sevilla, conformando un diálogo coherente entre las obras tempranas desarrolladas en el Centro de Cálculo de la Universidad de Madrid y sus series posteriores, de carácter más expresivo. Estos elementos no son meros recursos formales, sino vehículos de implicación emocional, que generan “geometrías” capaces de resonar en el espectador más allá de la comprensión racional. El capítulo subraya la capacidad de Sevilla para combinar precisión técnica y profundidad afectiva, cuestionando la marginación histórica de las mujeres artistas en España y reivindicando la importancia de la intuición y la belleza en su obra. La narrativa curatorial de Tejeda plantea la exposición Ritmos, tramas, variables como un recorrido circular a través de este juego entre emoción y juicio, mostrando cómo Sevilla reformula constantemente su lenguaje visual sin abandonar sus preocupaciones esenciales.
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Mediating between Emotion and Judgement. Soledad Sevilla
(Museo Nacional Centro de Arte Reina Sofia, 2024-09-20) Tejeda Martín, Isabel; Bellas Artes; Facultad de Bellas Artes
In “Mediating between Emotion and Judgment,” Isabel Tejeda examines Soledad Sevilla’s artistic practice as a continual negotiation between formal intellect and affective experience. Tejeda argues that Sevilla’s work transcends a purely geometric or analytical language by engaging with beauty, intuition, and sensation to produce emotional resonance in viewers. While Sevilla’s early career was grounded in geometric abstraction and rigorous forms developed in contexts like the University of Madrid’s Computing Centre, Tejeda highlights how these structures always carried an expressive dimension rather than remaining cold or detached. Tejeda frames Sevilla’s retrospective Rhythms, Grids, Variables as a circular narrative that connects early geometric modules and lines with later works that evoke atmosphere, memory, and sensory depth. Through rhythm, variation, and spatial engagement, Sevilla’s art situates viewers at thresholds where aesthetic perception invites emotional response. Tejeda underscores Sevilla’s capacity to create a dialogue between judgment and feeling, showing how rational formal systems and poetic intuition coexist in her oeuvre. In this view, Sevilla’s art mediates intellectual structure and visceral experience, making abstract form a vehicle for emotional engagement rather than pure calculation.
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"Método de la geometría" (1640) de Juan Carlos della Faille. Estudio y edición
(Universidad de Murcia, Editum. Signos, 45, 2019) Sánchez Martín, Francisco Javier; Lengua Española y Lingüística General
La edición del Método de la geometría y su estudio lingüístico son resultado del proyecto de investigación conducente al estudio de la lengua española matemática del siglo XVII. Este manuscrito redactado por el jesuita Juan Carlos della Faille, el único que se conserva en la biblioteca de la Real Academia de la Historia, testimonia la actividad científica producida en esta centuria en los Reales Estudios del Colegio Imperial madrileño, al tiempo que refleja la difusión académica de los conocimientos matemáticos, cuyo aprendizaje está motivado durante esta etapa por una finalidad eminentemente práctica. La edición de esta obra constituye una fuente para los estudios sobre la diacronía del español científico, particularmente referidos a un ámbito temático y a un periodo cronológico que cada vez suscitan mayor interés. De igual modo, se contribuye a valorar la aportación de este matemático, cuya figura puede situarse al nivel de otros matemáticos coetáneos.
Embargo
La obra de Oronce Finé en español. Estudio y edición de la traducción de "Los dos libros de la geometría práctica"
(Comares, 2023) Sánchez Martín, Francisco Javier; Lengua Española y Lingüística General
Oronce Finé representa una figura destacada en los estudios humanistas del Renacimiento. Gracias a su proyecto científico, logró divulgar y expandir la cultura matemática de su tiempo, así como ejercer una notable influencia en las obras redactadas por los matemáticos europeos. El segundo libro, dedicado a la geometría, de su compendio Protomathesis sirvió a los traductores españoles para componer su traducción, en un contexto de progresiva introducción de los diferentes idiomas nacionales en los círculos científico-intelectuales. En efecto, si tenemos en cuenta que la primera traducción castellana de los Elementos de Euclides, debida a Rodrigo Zamorano, apareció impresa en Sevilla en 1576, la importancia de Los dos libros de la geometría práctica de Oroncio Fineo Delfinate, traducidos de latín en lengua española (1553), se acrecienta, puesto que resulta ser este uno de los primeros tratados en que se divulgan, en nuestro vernáculo, los conocimientos y principios básicos de la geometría euclidiana, así como otros relativos al cálculo de superficies y volúmenes, además de la medición de distancias mediante variados instrumentos de medición, cuya construcción y aplicación aparecen descritas con sumo detalle. Girava y Lastanosa vertieron al castellano el tratado De Geometria compendiado bajo Protomathesis, mucho antes de que este fuera traducido al italiano o al inglés, y cumplieron con una destacada labor humanística de expansión de los conocimientos en una etapa clave para el progreso de la ciencia y, por ende, de la expresión científica en lengua española. Nuestro volumen presenta la edición de esta traducción de Oronce Finé, el examen del contexto en que esta se inserta, así como el estudio de sus rasgos lingüísticos y de los recursos traductológicos utilizados. Se persigue, por consiguiente, suscitar la difusión de este tratado científico y contribuir al conocimiento de la actividad tecnocientífica producida dentro de nuestras fronteras en el siglo XVI.
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Proclo: constructivismo y pre-intuicionismo en la geometría griega
(Ateneo Cantonal de Estudios Políticos (ACEP), 2019) Campillo Bo, Álvaro José
En este artículo ilustraré la filosofía de la matemática de Proclo de acuerdo a los enfoques constructivistas contemporáneos, principalmente los del intuicionismo. Presentándolo como un autor pre-intuicionista, intentaré contribuir a la discusión actual analizando algunas posturas de la filosofía antigua. Tengo la esperanza de cubrir esta laguna con una re-exposición de su filosofía de la matemática. Exploraré los orígenes de su teoría constructivista de la mente en la filosofía antigua y tardo-antigua (Aristóteles, Plotino y los estoicos) así como las fuentes de su posición en la controversia Académica sobre la naturaleza de los teoremas y los problemas entre Menecmo y Espeusipo
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Puesta en práctica del sistema de medición del pintor Antonio López García
(2011-06-02) Serrano León, David; Facultad de Bellas Artes
Esta breve demostración práctica ofrece una metodología de medición poco frecuente en el realismo pues como resultado se obtiene un espacio curvilíneo. Nos basamos en el sistema que inventa el pintor Antonio López para aprehender la realidad utilizando un instrumento que él mismo inventa: escuadra de madera.
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Los radios sucesivos de un cuerpo convexo = Successive radii of convex bodies.
(2013-04-08) González Merino, Bernardo; Hernández Cifre, María de los Ángeles; Facultad de Matemáticas
Palabras clave: Successive outer and inner radii; Minkowski addition; p-sum; Gelfand and Kolmogorov numbers; p-balls; constant width sets; p-tangential bodies; 0-symmetry; Perel’man-Pukhov problem; simplex; sections and projections Códigos Tesauro: 120206, 120400 Códigos Unesco: 120403 Resumen Español: La Tesis Doctoral está dedicada al estudio de ciertas propiedades de los radios sucesivos de los cuerpos convexos (funcionales definidos a partir de circunradios e inradios de proyecciones o secciones del cuerpo). Comenzamos estableciendo las nociones básicas necesarias para el desarrollo de los contenidos. A continuación calculamos los radios sucesivos de familias particulares de conjuntos (p-bolas, anchura constante, cuerpos tangenciales), y estudiamos la conexión existente entre estos funcionales y los números de Gelfand y Kolmogorov. En el tercer capítulo consideramos el problema de Pukhov-Perel'man sobre la mejor cota superior para un cierto cociente de radios, determinando desigualdades para problemas de este tipo que van a permitir mejorar los resultados existentes en ciertos casos. Finalmente, estudiamos cómo se relacionan los radios sucesivos de la suma de Minkowski (Firey) de dos cuerpos convexos con los correspondientes funcionales de los conjuntos, obteniendo los resultados óptimos en todos los casos. Resumen Inglés: The Doctoral Thesis is focused in the study of some properties of the successive radii of convex bodies (functionals defined by means of circumradii and inradii of projections or sections of the set). We start establishing the basic notions that will be needed further on. Next, we compute the successive radii of particular families of sets (p-balls, constant width sets and tangential bodies), and study the connection between these functionals and the Gelfand and Kolmogorov numbers. In the third chapter we consider the Pukhov-Perel'man problem on the best upper bound for a particular ratio of radii, determining inequalities for some problems of this type which will allow to improve the known results in particular cases. Finally we study how the successive radii of the (Firey)-Minkowski addition of two convex bodies are related with the corresponding functionals of the sets, obtaining the optimal results in all cases.
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Raíces de polinomios tipo Steiner generalizados
(Universidad de Murcia, 2020-10-13) Tárraga Navarro, Miriam; Hernández Cifre, María de los Ángeles; Yepes Nicolás, Jesús; Escuela Internacional de Doctorado
El principal objetivo de esta Tesis Doctoral es investigar la estructura y comportamiento del conjunto de raíces de aquellos polinomios de grado n cuyos coeficientes (salvo los números combinatorios) forman una sucesión log-convexa, entre los que se encuentran los polinomios duales de Steiner, y estudiar el problema de Blaschke en el marco de la teoría dual de Brunn-Minkowski. Comenzamos la memoria con un primer capítulo donde se recogen los conceptos y resultados que serán necesarios más adelante. Explicamos con detalle el problema de Blaschke y su relación con el tipo de raíces de los polinomios de Steiner. También dedicamos una sección a estudiar la llamada teoría dual de Brunn-Minkowski, y finalmente recogemos algunos resultados y propiedades conocidos sobre polinomios reales. En el capítulo 2 estudiamos el comportamiento de las raíces del polinomio de Steiner cuando consideramos cuerpos convexos 2- y 3-dimensionales embebidos en un espacio euclídeo de dimensión superior. En este caso, vemos que el conjunto de cuerpos convexos de dimensión 2 embebidos en R^n, cuyo polinomio de Steiner tiene sólo raíces reales, contiene al correspondiente conjunto en dimensión n+1. Sin embargo, en el caso 3-dimensional, encontramos un contraejemplo que nos muestra que esa inclusión es falsa y que sólo se verifica cuando saltamos a dimensión n+2. En el tercer capítulo estudiamos el comportamiento de lo que llamaremos polinomios con coeficientes log-convexos, es decir, aquéllos cuyos coeficientes (salvo los números combinatorios) verifican a_i^2<=a_{i-1}a_{i+1}. Consideramos el conjunto de raíces de todos estos polinomios (diferenciando si dichos coeficientes son todos positivos o alguno puede ser nulo) contenidas en el semiplano superior y probamos que ambos conjuntos son conos convexos, entre otras propiedades. El principal resultado proporciona una descripción precisa de estos conos para cualquier n>=3. En el último capítulo investigamos el problema de Blaschke en el marco dual. Caracterizamos el diagrama de Blaschke dual y probamos que es simplemente conexo y no cerrado. Esto permite obtener una nueva caracterización de las quermassintegrales duales en dimensión n=3 por medio de las desigualdades duales de Aleksandrov-Fenchel, y de este modo determinamos el cono de raíces de los polinomios duales de Steiner para n=3. Obtenemos también cotas para el módulo y las partes real e imaginaria de las raíces de los polinomios duales de Steiner en términos de los radios interior y exterior. En la última sección probamos que el polinomio dual de Steiner con pesos asociados a una medida de probabilidad sobre la recta real positiva, admite una representación integral y, además, demostramos que el funcional dual de Steiner puede obtenerse como uno de estos funcionales generalizados para una medida “límite” particular. La metodología que hemos seguido ha sido la propia de cualquier proyecto de investigación en Matemáticas: estudio en profundidad de artículos y textos en Convexidad y Teoría (dual) de Brunn-Minkowski, con el fin de adquirir la base necesaria para abordar los problemas planteados; estudio de los resultados anteriores ya conocidos, para así establecer los puntos de partida de nuestra investigación; desarrollo y creación de nuevas técnicas que permitan resolver los problemas planteados; análisis y presentación de los resultados obtenidos en congresos y reuniones de investigación, así como su publicación en revistas de impacto de reconocido prestigio internacional. En conclusión, podemos decir que se han logrado los objetivos previstos. Los problemas planteados se han podido resolver de forma satisfactoria (generalizamos el polinomio dual de Steiner y obtenemos propiedades de las raíces de dicho polinomio generalizado) y los trabajos de investigación y las participaciones en congresos a los que esta tesis ha dado lugar así lo demuestran.
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Reducción de tipo Hopf de un modelo cuártico : aplicaciones en dinámica rotacional y orbital= Hopf fibration reduction of a quartic model: applications to rotational and orbital dynamics
(2015-02-02) Crespo Cutillas, Francisco; Ferrer Martínez, Sebastián; Díaz Toca, Gema M.; Facultad de Informática
Esta tesis aborda los sistemas más conocidos de la mecánica clásica de forma unificada. Nuestro objetivo principal es desarrollar un marco de trabajo común para el estudio de perturbaciones, dicha tarea se realiza desde un punto de vista geométrico. Hemos estructurado esta memoria en tres partes: Parte I. Preliminares en Mecánica Clásica y Geometría: En esta primera parte recogemos herramientas que serán usadas a lo largo de nuestro estudio. En el primer capítulo fijamos la notación y se presentan algunos resultados básicos. En el segundo estudiamos el Sistema Extendido de Euler, como un problema de valor inicial paramétrico. Este enfoque permite derivar las principales propiedades de las funciones elípticas. En concreto, las conocidas relaciones cuadráticas entre funciones elípticas y la transformación de Jacobi para el módulo elíptico se obtienen de nuestro análisis. Parte II. Reducción de tipo Hopf de un modelo cuártico: En el tercer capítulo estudiamos una generalización de la fibración de Hopf clásica. Seguiremos la misma metodología que en la fibración de Hopf clásica, pero el cuerpo complejo será reemplazado por cuaternios. En el cuarto capítulo usamos las componentes de la representación cuaterniónica de la aplicación de Hopf para proponer una familia de Hamiltonianos multiparamétrica. Para una elección apropiada de los parámetros y considerando una regularización de la variable independiente, cuando sea necesario, algunos modelos destacados de la mecánica clásica tales como el sistema de Kepler, el flujo geodésico, el oscilador isotrópico de cuatro dimensiones y el sólido rígido libre aparecen como casos particulares. El análisis del modelo cuártico se lleva a cabo a través de una doble reducción. Por un lado, el sistema es geométricamente reducido, este modelo es un ejemplo detallado de reducción singular, en la cual la correspondiente reconstrucción es también proporcionada. Por otro lado, la reducción simpléctica llevada a cabo a través del uso de nuevas coordenadas canónicas es analizada. En concreto, se muestra la relación entre la reducción geométrica y simpléctica y se proporciona la formulación explícita para todos los cambios de variables que son usados. Parte III. Aplicaciones a la dinámica Roto-Orbital: Esta parte está dedicada al estudio de la dinámica de actitud y el movimiento orbital de modelos que aproximan un asteroide o un satélite con una triaxialidad genérica, bajo los efectos de una perturbación gravitacional. Este problema, denominado problema completo de los dos cuerpos, es un sistema dinámico Hamiltoniano no integrable, que requiere el uso de teorías de perturbaciones para su análisis. Dentro del contexto de Poincaré y Arnold, una teoría de perturbación debería ser desarrollada a partir un orden cero integrable y no degenerado. Nosotros exploraremos nuevos candidatos para el orden cero llamados intermediarios. La idea de los intermediarios consiste en definir un sistema integrable simplificado del problema en cuestión. En el quinto capítulo recordamos el concepto de intermediario, presentamos cinco modelos y establecemos una metodología común para su estudio. Es en este contexto donde el marco desarrollado para el modelo polinómico cuártico es completamente explotado. El sistema simplificado incluye parte del potencial donde el acoplamiento roto-orbital esta presente de tal manera, que el sistema definido por el orden cero es integrable. Los capítulos seis y siete aprovechan el marco de trabajo desarrollado en el estudio de dos intermediarios definidos en el capítulo anterior. Se asume que estos intermediarios tienen orbitas circulares y elípticas respectivamente. En el capítulo seis estudiamos equilibrios relativos y bifurcaciones del intermediario circular. Este modelo de intermediario define un flujo Poisson sobre espacio multiparamétrico. En el caso de un cuerpo de rotación lenta, identificamos condiciones bajo las cuales aparecen bifurcaciones de las trayectorias inestables clásicas, siendo dichos escenarios de gran interés en relación a la estabilización y control. Por otro lado, también se pone de manifiesto y se estudia en detalle el papel jugado por la triaxialidad del cuerpo. En el último capítulo la perturbación contiene al radio y como consecuencia las órbitas obtenidas serán de tipo roseta. Este modelo se asocia a dos tipos de aplicaciones, asteroides y satélites, es decir, en nuestra última aplicación consideramos órbitas elípticas en general; también analizamos las condiciones para que este modelo admita circulares. El objetivo de este estudio es encontrar un modelo suficientemente simplificado para ser considerado un orden cero, pero que incorpore parte del efecto perturbativo gravitatorio. Conclusión En esta tesis se aborda una generalización del sistema clásico de Euler, la solución general conecta con las doce funciones elípticas de Jacobi. Usando esta generalización y la fibración tipo Hopf cuaterniónica, se define y estudia en detalle una familia polinómica paramétrica de Hamiltonianos. Sobre dicha familia se llevan a cabo reducciones de tipo geométrico y simpléctico y se muestra que algunos modelos de la mecánica clásica están incluidos para ciertas elecciones de los parámetros. En este sentido, la familia propuesta proporciona un marco de trabajo común para abordar estos modelos clásicos. En las aplicaciones nos centramos en la modelización de problemas roto-orbitales. El modelo completo requiere el desarrollo de teorías perturbativas para obtener soluciones aproximadas. En este trabajo consideramos algunos candidatos para el orden cero. Presentamos un detallado análisis para el caso en el que el satélite presenta rotación lenta. Para cada misión concreta, el valor de los modelos dependerá de las comparaciones con experimentos numéricos. Para el caso de radio no constante aparecen un buen número de técnicas de la mecánica clásica a investigar. En este sentido, el capítulo siete es un primer paso que requiere más investigación. Como ejemplo valga la comparación de nuestro enfoque con la eliminación de la paralaje como punto de partida. Un segundo aspecto es la producción de las correspondientes variables de ángulo-acción. Summary This thesis addresses some of the very well known systems in classical mechanics in a uniform manner. Our main target is to develop a common framework to deal with perturbations. As such, the structure of this memoir comprises three parts: Part I. Preliminaries on Classical Mechanics and Geometry: In the first part of this memoir we gather some tools that will be used along our study. The first Chapter sets notation and presents some basic results. In the second Chapter we study the extended Euler systems as an initial value problem with parameters. Particular realizations of this system lead to several Lie-Poisson structures. The twelve Jacobi elliptic functions are shown in a unified way. Part II. Hopf Reduction on a Quartic Polynomial Model: In the third Chapter we study a four dimensional generalization of the classical Hopf fibration. We follow the same methodology as in the classical Hopf fibration, but instead of complex numbers the generalization of the classic Hopf map is defined in terms of quaternions. The fourth Chapter uses the components of the quaternionic Hopf map to propose a parametric Hamiltonian function, which is an homogeneous quartic polynomial with six parameters, defining an integrable family of Hamiltonian systems. For suitable choices of the parameters, adding an appropriate regularization when needed, some remarkable classical models such as the Kepler, geodesic flow, 4-D isotropic oscillator and free rigid body systems appear as particular cases. The analysis of the quartic model is performed through a twofold reduction. On the one hand, the system is geometrically reduced. On the other hand, symplectic reduction is examined. Moreover, we show the relation between the geometric reduction and the reduction carried out by the Projective Andoyer variables. Part III. Applications to Roto-Orbital Dynamics: This part is devoted to the study of the attitude dynamics and the orbital motion of models approximating a generic triaxial spacecraft under gravity-gradient torque perturbation. The full problem is a non-integrable Hamiltonian dynamical system. Within the context of Poincaré and Arnold, a perturbation theory should be developed upon an integrable and non-degenerate zero order. We study alternative candidates for the zero order, the intermediaries. The idea of the intermediary is to define a simplified integrable system of the problem at stake. In the fifth Chapter we recall the concept of intermediary, present five of them and we set a common methodology. Sixth and seventh Chapters take advantage of the previous framework considering two intermediary models. Those intermediaries are assumed to be in circular and elliptic orbits respectively. We study relative equilibria and bifurcations of the circular intermediary in chapter six. This intermediary model defines a Poisson flow over a large parameter space. In the case of slow rotational motion we identify conditions under which different bifurcations of the classical unstable trajectories occur, being those scenarios of great interest in relation to stabilization and control purposes. The role played by the triaxiality is also shown. The final chapter examines a body moving in a rosette-like orbit. More precisely we are thinking about two types of applications, namely to artificial satellites or asteroids around a planet. In other words, we consider perturbed elliptic orbits in general; we also investigate conditions for which this model admits the circular ones. This scenario leads to medium orbits rather than to the low type of orbits studied in the preceding chapter. The intention of this study is to analyze a model simply enough to be considered as an alternative zero order, but incorporating partially the effects of the gravity torque perturbation. Conclusions The main conclusion of this Memoire may be summarized as follows. A generalized study of the classical Euler system is presented, connecting its solutions with the twelve Jacobi elliptic functions. Using that and the quaternionic Hopf fibration a quartic homogeneous polynomial parametric family is proposed and studied in detail. Geometric and symplectic reductions are performed in the family. It is shown that, for suitable choices of parameters, several classical mechanical systems arise as family realizations and we provide a common framework to study them. In the application we focus on modeling problems in the roto-orbital dynamics. The full model is a non-integrable problem which requires the development of perturbation theories in order to obtain approximate solutions. Several candidates for the zero order term, on which the whole theory relies, are considered in this context. We analyze the role played by the integrals and the relation with the physical parameters involved. In particular, we present a fairly complete analysis of the case when the satellite has slow rotation. For each mission, the relative value of each model will finally depend on numerical experiments. When the radius is not constant, there is a number of techniques of classical mechanics to be considered and the last chapter is just a preliminary step to do more research. As an example we mention the comparison of our approach with the elimination of the parallax as the starting point. A second aspect could be the production of the corresponding action-angle variables.

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