Browsing by Subject "Algebra"

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    Álgebra homológica relativa y estructuras de modelos exactas
    (Universidad de Murcia, 2019-02-28) Dalezios, Georgios; Estrada Domínguez, Sergio; Granau Holm, Henrik; Escuela Internacional de Doctorado
    Esta tesis se ocupa del álgebra homológica relativa y categorías de modelos exactas. Hay dos ejemplos de tales teorías homológicas relativas que son de interés en esta tesis. Un ejemplo proviene del álgebra conmutativa en el estudio de aproximaciones maximales Cohen-Macaulay y sus generalizaciones en el álgebra homológica de Gorenstein. Otro ejemplo proviene de la teoría de la pureza en categorías aditivas localmente finitamente presentadas. Finalmente, en la última parte de la tesis, se estudian categorías de modelos abelianas inducidas en categorías de representaciones de carcajes, con especial atención al caso de estructuras de modelos asociadas al contexto de representaciones Ding proyectivas y Ding inyectivas. La tesis consiste en un texto expositivo, que consta de una introducción y tres capítulos, y tres artículos (dos de ellos ya están publicados y el tercero esta presentado), A. Quillen equivalences for stable categories (joint with S.Estrada and H.Holm). Journal of Algebra 501, 130-149 (2018) B. A note on homotopy categories of FP-Injectives}. Homology, Homotopy and Applications 21(1) 95-105, (2019) C. Abelian model structures on categories of quiver representations.
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    Análisis didáctico del lenguaje algebraico en la Enseñanza Secundaria
    (Universidad de Zaragoza, Asociación Universitaria de Formación del Profesorado (AUFOP), 1998) Socas Robayna, Martín Manuel; Camacho Machín, Matías; Hernández Domínguez, Josefa
    En este artículo se reflexiona sobre el análisis didáctico de lenguaje algebraico y su implicación en una propuesta de formación del profesorado de Secundaria. A partir de un análisis breve de las principales características que los nuevos currículos de Matemáticas poseen, se concretan los aspectos más significativos que el conocimiento didáctico debe aportar al profesor, y se analiza el lenguaje algebraico en la enseñanza secundaria a partir de los siguientes organizadores: la contextualización del currículo, los contenidos de álgebra en términos de capacidades, los sistemas de representación semióticos, los materiales y recursos, las dificultades, obstáculos y errores, así como los modos y situaciones de enseñanza. Concluimos con sugerencias metodológicas, donde los organizadores del análisis didáctico juegan un papel significativo para la formación de los futuros profesores.
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    On the modular isomorphism problem
    (Universidad de Murcia, 2024-02-27) García Lucas, Diego; Margolis, Leo; Río Mateos, Ángel del; Escuela Internacional de Doctorado
    Entre las preguntas que surgen en el estudio de los anillos de grupo, una de las más populares es el problema del isomorfismo. Y entre las variantes de ésta, la que más tiempo ha resistido a una solución es el problema del isomorfismo modular. Éste pregunta si, dados dos p-grupos finitos G y H, la existencia de un isomorfismo entre las álgebras de grupo de G y de H sobre el cuerpo de p elementos (o, alternativamente, sobre algún cuerpo de característica p) implica la existencia de un isomorfismo entre G y H. Este problema ya apareció en el influyente artículo de recopilación de R. Brauer Representations of finite groups de 1963, y para el que los primeros resultados parciales se remontan a un trabajo de W. E. Deskins de 1956. Nuestra contribución a esta área consiste en un estudio concienzudo del problema del isomorfismo modular para p-grupos finitos 2-generados con subgrupo derivado cíclico, llevado a cabo en las Partes III y IV, con el que demostramos que este problema tiene respuesta positiva para algunas subclases de esta clase de grupos, y demostramos que ciertos invariantes de estos grupos están determinados por sus álgebras de grupo modulares. Un prerrequisito para este estudio era tener clasificados, salvo isomorfismo, los grupos de nuestra clase objetivo, que se realiza en la Parte I. Como parte de este estudio, en la Parte II, somos capaces de dar una respuesta negativa al problema del isomorfismo modular, cerrando finalmente los sesenta años de historia de este problema. Sin embargo, el problema del isomorfismo modular sigue siendo una pregunta de interés para algunas clases de grupos, como los p-grupos de orden impar (i.e., con p>2) o los p-grupos de clase de nilpotencia 2. En esta última dirección, en la Parte V damos una respuesta positiva al problema del isomorfismo modular para p-grupos de clase de nilpotencia 2 con centro cíclico. Desde un punto de vista más estructural, en la Parte VI demostramos que el problema del isomorfismo modular es equivalente al mismo problema para p-grupos sin factores directos abelianos. Esto nos permite extender de forma no trivial las clases de grupos para las que se conoce que el problema del isomorfismo modular tiene respuesta positiva. En la Parte VII demostramos que, para el problema del isomorfismo modular en su versión para cuerpos arbitrarios, de hecho sólo los cuerpos finitos pueden tener relevancia.
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    On the Zassenhaus conjecture for PSL(2,q), SL(2,q) and direct products
    (Universidad de Murcia, 2018-06-13) Serrano Sánchez, Mariano; Del Río Mateos, Ángel; Escuela Internacional de Doctorado
    La Conjetura de Zassenhaus para PSL(2,q), SL(2,q) y productos directos En 1960 Zassenhaus enunció una serie de conjeturas sobre los subgrupos finitos de U(ZG) con G un grupo finito. Para todas ellas se encontraron contraejemplos durante los siguientes años pero una de ellas ha permanecido abierta durante mucho tiempo. Se trata de la conjetura que pretende describir los elementos de torsión de U(ZG). Claramente los conjugados en QG de los elementos de G y sus opuestos son de torsión y la Conjetura de Zassenhaus (ZC1) predice que todos los elementos de torsión de ZG son de esta forma. (ZC1) ha sido verificada para todos los grupos de orden menor que 144, Weiss la demostró para grupos nilpotentes y Hertweck para grupos metacíclicos. Este resultado fue extendido para grupos cíclico-por-abeliano. Poco antes de completar esta tesis, un contraejemplo metabeliano fue anunciado por Eisele y Margolis. En vista de este contraejemplo, versiones más débiles han tomado más protagonismo. Destacamos el Problema de Kimmerle que pretende decidir si todas las unidades de U(ZG) son conjugadas de un elemento de G en U(QH) para un grupo H que contenga a G como subgrupo. Los objetivos de la tesis han sido: 1) Estudiar (ZC1) para los grupos PSL(2,q) y SL(2,q). 2) Desarrollar nuevos métodos para tratar (ZC1). 3) Estudiar (ZC1) y el Problema de Kimmerle para productos directos. Para los objetivos 1) y 2) se estudiaron ejemplos demostrados con el Método HeLP. Como consecuencia, en esta tesis se calcula cómo de lejos se puede llegar utilizando el Método HeLP para unidades con orden 2t en ZPSL(2,q), con t un primo impar. También se ha demostrado que toda unidad de torsión de ZPSL(2,q) con orden coprimo con 2q es conjugada en QG de un elemento de PSL(2,q). Para ello se ha desarrollado una nueva versión del Método HeLP adaptada a los caracteres de PSL(2,q). Como consecuencia, se demuestra (ZC1) para los grupos PSL(2,p) con p un primo de Fermat or Mersenne. Esto aumenta el número de grupos simples no abelianos para los cuales se verifica (ZC1) de 13 hasta al menos 62 grupos. También se estudió si las técnicas empleadas en los grupos PSL(2,q) servían para tratar los grupos SL(2,q). Se profundizó en la Teoría de Representaciones Modulares buscando que estas ideas sirvieran para tratar grandes familias de grupos. En esta tesis se ha logrado demostrar que toda unidad de torsión de ZSL(2,q) con orden coprimo con q es conjugada en QG de un elemento de SL(2,q). Esto dio lugar a la demostración de (ZC1) para los grupos SL(2,p) y SL(2,p²) con p un primo. Ésta es la primera familia infinita de grupos no resolubles para los cuales se ha demostrado (ZC1). Para el objetivo 3), se estudió si las técnicas empleadas por Hertweck podrían ser adaptadas para tratar el producto directo de grupos. Se ha demostrado (ZC1) para el producto directo de un grupo abeliano finito y un grupo finito de Frobenius con complementos metacíclicos. También se extendió el Método HeLP para anillos de grupo con coeficientes en un anillo de enteros algebraicos, teniendo como objetivo estudiar (ZC1) para el producto directo de un grupo abeliano finito y un grupo con orden menor que 95. También se ha resuelto el Problema de Kimmerle para los contraejemplos de (ZC1) encontrados por Eisele y Margolis y para los grupos con una torre de Sylow, en particular para los grupos superresolubles. On the Zassenhaus Conjecture for PSL(2,q), SL(2,q) and direct products In 1960 Zassenhaus proposed several conjectures about the finite subgroups of U(ZG) where G is a finite group. Counterexamples for most of them appeared during the following years but one of them was opened for a long time. It was the conjecture which pretend to describe the torsion elements of U(ZG). Clearly, the conjugates in QG of the elements of G and their opposite have finite order and the Zassenhaus Conjecture (ZC1) predicts that every torsion element of ZG is of this form. (ZC1) has been proved for groups of order at most 144, for nilpotent groups by Weiss and for metacyclic groups by Hertweck. This result was extended to cyclic-by-abelian groups. Before finishing this thesis, a metabelian counterexample to (ZC1) was announced by Eisele and Margolis. As a consequence, weaker versions are gaining importance. We point out the Kimmerle Problem which tries to decide whether the torsion units of ZG are conjugate to elements of G in U(QH) for a group H containing G as subgroup. The goals of this thesis have been: 1) Study (ZC1) for the groups PSL(2,q) and SL(2,q). 2) Develop new methods to deal with (ZC1). 3) Study (ZC1) and the Kimmerle Problem for direct products. To reach goals 1) and 2), examples proved using only the HeLP Method were studied. In this thesis it has been calculated how far one can go after applying the HeLP Method for units of order 2t in ZPLS(2,q), with t an odd prime. It is also proved that every torsion unit of ZPSL(2,q) of order coprime with 2q is conjugate in QG to an element of PSL(2,q). For this, a new version of the HeLP Method suitable to the characters of PSL(2,q) was developed. As a consequence, it is proved (ZC1) for the groups PSL(2,p) with p a Fermat or Mersenne prime. This result increases the number of non-abelian simple groups for which (ZC1) holds from 13 to at least 62 groups. It is studied whether the techniques used for the groups PSL(2,q) also work to deal with (ZC1) for the groups SL(2,q). For that, the Modular Representation Theory of these groups was deeply studied with the hope that it could help to deal with larger classes of groups. In this thesis it is proved that every torsion unit of ZSL(2,q) with order coprime to q is conjugate in QG to an element of SL(2,q). This yields to the proof of (ZC1) for the groups SL(2,p) and SL(2,p²) with p a prime. This is the first infinite family of non-solvable groups for which (ZC1) has been proved. Regarding goal 3), it is studied whether the techniques used by Hertweck could be adapted to deal with direct products. As a consequence, it is proved (ZC1) for the direct product of an abelian finite group and a finite Frobenius group with metacylic complements. The classical HeLP Method was also extended to group rings where the coefficients are coming from ring of algebraic integers in order to study (ZC1) for the direct product of an abelian finite group and a group whose order is at most 95. In this thesis, the Kimmerle Problem was solved for the counterexamples to (ZC1) obtained by Eisele and Margolis and for groups with a Sylow tower, in particular for supersolvable groups.