Browsing by Subject "Álgebra"

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    Análisis didáctico del lenguaje algebraico en la Enseñanza Secundaria
    (Universidad de Zaragoza, Asociación Universitaria de Formación del Profesorado (AUFOP), 1998) Socas Robayna, Martín Manuel; Camacho Machín, Matías; Hernández Domínguez, Josefa
    En este artículo se reflexiona sobre el análisis didáctico de lenguaje algebraico y su implicación en una propuesta de formación del profesorado de Secundaria. A partir de un análisis breve de las principales características que los nuevos currículos de Matemáticas poseen, se concretan los aspectos más significativos que el conocimiento didáctico debe aportar al profesor, y se analiza el lenguaje algebraico en la enseñanza secundaria a partir de los siguientes organizadores: la contextualización del currículo, los contenidos de álgebra en términos de capacidades, los sistemas de representación semióticos, los materiales y recursos, las dificultades, obstáculos y errores, así como los modos y situaciones de enseñanza. Concluimos con sugerencias metodológicas, donde los organizadores del análisis didáctico juegan un papel significativo para la formación de los futuros profesores.
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    Anillos de endomorfismos de módulos topológicos cuasi-inyectivos
    (2012-11-29) Río Mateos, Ángel del; Gómez Pardo, José Luis; Universidad de Murcia. Departamento de Matemáticas
    Sea M un módulo cuasi-inyectivo y S el anillo de endomorfimos de S. El objetivo de la tesis consiste en describir las propiedades que tiene que satisfacer M para que S satisfaga una propiedad dada.Let M a quasi-inyective module and S the ring of endomorfisms of S. The goal of this thesis consists in describing the properties that M should satisfy for S to satisfy a given property.
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    Corazones de T-estructuras que son Categorías de Grothendieck o de Módulos= Hearts of T-structures wich are Grothendieck or Module Categories
    (2014-09-05) Parra Molina, Carlos Eduardo; Saorín Castaño, Manuel; Facultad de Matemáticas
    Las t-estructuras en categorías trianguladas fueron introducidas a principios de los ochenta del último siglo por Beilinson, Bernstein y Deligne [BBD], en su estudio de los haces perversos sobre una variedad analítica o algebraica. El descubrimiento fundamental de este concepto era la existencia de una categoría abeliana “escondida”, llamada por ellos el corazón de la t-estructura, que permitía el desarrollo de una teoría de homología intrínseca dentro de la propia categoría triangulada en cuestión. Surge de manera natural las siguientes cuestiones: 1. ¿Cuándo el corazón de una t-estructura es una categoría de Grothendieck?. 2. ¿Cuándo es él una categoría de módulos?. Lo inabordable de la pregunta, ha hecho que sólo se estudien casos particulares de la misma, estableciendo condiciones en la t-estructura así como también en la categoría triangulada en cuestión. De hecho, todos los trabajos que conocemos en está dirección, están concentrados en la llamada t-estructura de Happel-Reiten-Smalo (ver [CGM], [CG], [CMT], [HKM] y [MT]). En esta tesis, se abordaron las cuestiones 1 y 2, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo, solventado algunos casos que no fueron cubiertos en los trabajos [CGM], [CG], [CMT], [HKM] y [MT]. Por otra parte, una de las novedades de esta tesis, fue el estudiar las cuestiones 1 y 2, para t-estructuras más generales que el caso de Happel-Reiten-Smalo. En el capítulo 5 se estudia el corazón de las t-estructuras compactamente generadas en la categoría derivada de un anillo conmutativo Noetheriano. A continuación, daremos una lista de los resultados más relevantes de esta tesis. Resultados Cuestión 1, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo: En este caso, fijamos una categoría de Grothendieck G y un par de torsión t = (T,F) en G y denotaremos por Ht el corazón de la t-estructura asociada en D(G). En primera instancia se mostró que Ht es una categoría abeliana AB5 si, y sólo si, los funtores de homologías Hk: Ht → G, conmutan con límites directos, para todo entero k. También probamos que si Ht es una categoría de Grothendieck entonces F es cerrada para límites directos en G. Como una consecuencia de nuestros resultados, para los pares de torsión inclinantes y coinclinantes, se logro dar resultados más allá de la condición de Grothendieck, generalizando algunos resultados de [CMT] y [BK]. Cuestión 2, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo: En este caso, el par de torsión t = (T,F) se fija en la categoría de módulos R-Mod sobre un anillo asociativo con unidad R. En el capítulo 4, se da respuesta definitiva a esta cuestión, en términos de un progenerador de Ht. Aprovechando dicho resultado, en el caso de pares de torsión introducidos por Hoshino, Kato y Miyachi, llamados pares de torsión HKM en lo que sigue, establecimos la relación precisa entre un complejo HKM que define el par de torsión y progenerador de Ht. Como consecuencia, se muestra un ejemplo de un complejo HKM que no está en el corazón y otro ejemplo de un par de torsión que no es un par de torsión HKM, cuyo corazón es una categoría de módulos. Por otra parte, para los pares de torsión hereditarios las condiciones que deben exigirse a un complejo para ser un progenerador de Ht se simplifican, surgiendo de manera natural las ternas TTF(=torsion torsionfree). En el caso en que suponemos que t = (T,F) es la parte derecha de una terna TTF en R-Mod, bajo unas hipótesis suficientemente generales, las condiciones a exigir al complejo, quedan reducidas. Otra pregunta natural que surge es la de encontrar un progenerador de Ht que sea lo más sencillo posible. En la tesis se estudiamos cuándo dicho progenerador puede ser elegido de manera que sea una suma directa de tallos. En el caso de un solo tallo, se logra dar un ejemplo de un par de torsión no inclinante cuyo corazón es una categoría de módulos que admite un progenerador de la forma V[0] para algún módulo V en T. Cuestiones 1 y 2, para las t-estructuras compactamente generadas en la categoría derivada de un anillo conmutativo Noetheriano: Alonso, Jeremías y Saorín [AJS], clasifican las t-estructuras compactamente generada en D(R), donde R es un anillo conmutativo Noetheriano, en términos de filtraciones por soportes del espectro de R. Denotaremos por Ф tal filtración, y por HФ el corazón de la t-estructura asociada en D(R). Primero probamos que HФ siempre tiene un generador, así la cuestión 1 se reduce a determinar cuándo dicho corazón es una categoría abeliana AB5. Luego probamos que si Ф es una filtración acotada por la izquierda, entonces HФ es AB5 y por lo tanto, es una categoría de Grothendieck. A diferencia de la cuestión 1, la cuestión 2 es totalmente cubierta en la tesis. En esta repsuesta, la categoría cociente de R-Mod por una clase de torsión hereditaria juega un papel importante. Referencias [AJS] L. Alonso, A. Jeremías, M. Saorín, Compactly generated t-structures on the derived category of a Noetherian ring, Journal of Algebra, 324 (2010), 313-346. [BBD] A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, “Faisceaux Pervers”. Analysis and topology on singulas spaces, I, Luminy 1981, Astèrisque. 100. Soc. Math. France, Paris. (1982), 5-171. [BK] A.B. Buan, H. Krause, Cotilting modules over tame hereditary algebras. Pacific J. Math 211(1)(2003), 41-59. [CG] R. Colpi, E. Gregorio, The Heart of cotilting theory pair is a Grothendieck category, Preprint. [CGM] R. Colpi, E. Gregorio, F. Mantese, On the Heart of a faithful torsion theory, Journal of Algebra, 307 (2007), 841-863 [CMT] R. Colpi, F. Mantese, A. Tonolo, When the heart of a faithful torsion pair is a module category, Journal of Pure and Applied Algebra, 215 (2011) 2923-2936. [HRS] D. Happel, I. Reiten, S.O. Smalo, Tilting in abelian categories and quasitilted algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 120 (1996). [HKM] M. Hoshino, Y. Kato, J-I. Miyachi, On t-structures and torsion theories induced by compact objects, Journal of Pure and Applied Algebra, 167 (2002), 15-35. [MT] F. Mantese, A. Tonolo, On the heart associated with a torsion pair, Topology and its Applications, 159 (2012), 2483-2489. Abstract T-structures on triangulated categories were introduced in the early eighties of last century by Beilinson, Bernstein and Deligne [BBD] in their study of perverse sheaves on an analytic or an algebraic variety. The main discovery of this concept was the existence of a 'hidden' abelian category, called by them the heart of the t-structure, which allowed the development of a homology theory that is intrinsic to the triangulated category. In a natural way the following questions arise: 1. When is the heart of a t-structure a Grothendieck category? 2. When is it a category of modules? The intractability of the questions has led to study only particular cases of them, by establishing conditions on the t-structure as well as on the triangulated category in question. In fact, all the works that we know of in this respect are focused on the so-called t-structure of Happel-Reiten-Smalo (see [CGM], [CG], [CMT], [HKM] and [MT]). In this thesis, we tackled questions 1 and 2 above for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo and solved some cases that were not covered in the work [CGM], [CG], [CMT], [HKM] and [MT]. On the other hand, one of the novelties of the thesis was to study questions 1 and 2, for t-structures more general than the Happel-Reiten-Smalo case. In chapter 5 we study the heart of compactly generated t-structures in the derived category of a commutative Noetherian ring. In the sequel we give a list of the most relevant results in the thesis. Results Question 1, for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo: In this case, we fix a Grothendieck category G and a torsion pair t=(T,F) in G and we will denote by Ht the heart of the associated t-structure in D(G). First, we proved that Ht is an AB5 abelian category if, and only if, the homology functors Hk: Ht → G commute with direct limits, for each integer k. We also proved that if Ht is a Grothendieck category then F is closed under taking direct limits in G. As a consequence of our results, for tilting and cotilting torsion pairs we managed to give results further than the Grothendieck case, generalizing results from [CMT] and [BK]. Question 2, for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo: In this case, the torsion pair t=(T,F) is fixed in the module category R-Mod over an associative ring with unit R. In chapter 4 a definitive answer to the question is given, in terms of a progenerator of Ht. Taking advantage of this result, in the case of the torsion pairs introduced by Hoshino, Kato and Miyachi, called HKM torsion pairs in the sequel, we established the precise relationship between an HKM complex which defines the torsion pair and the progenerator of Ht. As a consequence, we show an example of an HKM complex which is not in the heart and another example of a non-HKM torsion pair whose heart is a module category. On the other hand, for hereditary torsion pairs, the conditions to impose to a complex in order for it to be a progenerator of Ht get simplified, appearing in a natural way the TTF (=torsion torsionfree) triples. When we assume that t=(T,F) is the right constituent pair of a TTF triple in R-Mod, under sufficiently general hypotheses, the conditions to impose to the complex get reduced. Another natural by-side question which arises is that of finding a progenerator of Ht which is the simplest possible. In the thesis we study when such a progenerator can be chosen to be a direct sum of stalk complexes. In the case of a unique stalk complexes, we manage to give an example of a non-tilting torsion pair whose heart is a module category which admits a progenerator of the form V[0], for some module V in T. Questions 1 y 2, for compactly genrated t-structures in the derived category of a commutative Noetherian ring: Alonso, Jeremías and Saorín [AJS] classify the compactly generated t-structres in D(R), where R is a commutative Noetherian ring, in terms of filtrations by supports of the spectrum of R. We will denote by Φ such a filtration and by HΦ the heart of the associated t-structure in D(R). We first proved that HΦ always has a generator, so that question 1 reduces to determine when this heart is an AB5 abelian category. We then proved that if Φ is a left bounded filtration, then HΦ is AB5 and, hence, a Grothendieck category. Unlike question 1, question 2 has been completely answered in the thesis. In this answer the quotient category of R-Mod by a hereditary torsion class plays a very important role. References [AJS] L. Alonso, A. Jeremías, M. Saorín, Compactly generated t-structures on the derived category of a Noetherian ring, Journal of Algebra, 324 (2010), 313-346. [BBD] A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, “Faisceaux Pervers”. Analysis and topology on singulas spaces, I, Luminy 1981, Astèrisque. 100. Soc. Math. France, Paris. (1982), 5-171. [BK] A.B. Buan, H. Krause, Cotilting modules over tame hereditary algebras. Pacific J. Math 211(1)(2003), 41-59. [CG] R. Colpi, E. Gregorio, The Heart of cotilting theory pair is a Grothendieck category, Preprint. [CGM] R. Colpi, E. Gregorio, F. Mantese, On the Heart of a faithful torsion theory, Journal of Algebra, 307 (2007), 841-863 [CMT] R. Colpi, F. Mantese, A. Tonolo, When the heart of a faithful torsion pair is a module category, Journal of Pure and Applied Algebra, 215 (2011) 2923-2936. [HRS] D. Happel, I. Reiten, S.O. Smalo, Tilting in abelian categories and quasitilted algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 120 (1996). [HKM] M. Hoshino, Y. Kato, J-I. Miyachi, On t-structures and torsion theories induced by compact objects, Journal of Pure and Applied Algebra, 167 (2002), 15-35. [MT] F. Mantese, A. Tonolo, On the heart associated with a torsion pair, Topology and its Applications, 159 (2012), 2483-2489.
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    Envolturas planas de módulos / Alberto del Valle Robles ; directores Juan Martínez Hernández, Manuel Saorín Castaño.
    (Murcia : Universidad de Murcia, Departamento de Matemáticas,, 1996) Valle Robles, Alberto del
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    La influencia del "Cursus Mathematicus" de Hérigone en la algebrización de la matemática
    (Universidad de Murcia, 2022-09-15) Mellado Romero, Antonio; Linero Bas, Antonio; Massa Esteve, Maria Rosa; Herrero Piñeyro, Pedro José; Escuela Internacional de Doctorado
    El proceso de algebrización de las matemáticas consiste, grosso modo, en la aceptación progresiva de los procedimientos algebraicos como método de resolución de problemas aritméticos y geométricos. Este proceso conllevó transformaciones en la matemática, así como un cambio de un modo de pensamiento geométrico a otro algebraico. Aunque el álgebra tuvo una evolución importante durante el siglo XVI, adquiriendo relevancia debido a su eficacia en la resolución de problemas, el cambio más importante hacia este nuevo modo de pensamiento se produjo con la publicación de la obra Introducción al arte analítico (1591) de François Viète (1540-1603) y el desarrollo de su nueva álgebra aplicada a la geometría. Históricamente, el siguiente hito se ha situado en la publicación de la Geometría (1637) de René Descartes (1596-1650) donde el autor introdujo la unidad geométrica y, así, pudo construir un álgebra de segmentos en la que las operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación tienen una interpretación tanto aritmética como geométrica. En este interludio entre Viète y Descartes se sitúa la obra de Pierre Hérigone (ca.1580-1643), un curso matemático bilingüe, escrito a dos columnas en latín y francés, compuesto por seis volúmenes, de los cuales los cuatro primeros se publicaron en 1634, el quinto en 1637 y el sexto en 1642. El Curso presenta una característica especial: el uso de un lenguaje totalmente simbólico para transmitir la matemática que, según Hérigone, puede ser entendido por cualquiera sin el uso de su lengua materna. En el Curso, en relación con el proceso de algebrización, se expone el álgebra siguiendo el Arte analítico, lo que lo convierte en un objeto de análisis importante en cuanto a la difusión de la nueva álgebra de Viète en la época anterior a Descartes. En este trabajo estudiamos el Curso matemático de Hérigone, que no ha sido estudiado en profundidad hasta ahora, con el objetivo de analizar las aportaciones matemáticas, metodológicas y estructurales de la obra de este matemático en el proceso de algebrización de las matemáticas, así como su influencia en el mismo.
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    Razonamiento espacial cualitativo con relaciones cardinales basado en problemas de satisfacción de restricciones y lógicas modales
    (Universidad de Murcia, 2010-12-20) Morales Nicolás, Antonio; Navarrete Sánchez, Isabel María; Sciavicco, Guido; Departamentos y Servicios::Departamentos de la UMU::Ingeniería de la Información y las Comunicaciones
    El objetivo de esta tesis es proponer mejoras en modelos existentes de razonamiento espacial cualitativo con relaciones cardinales, y proponer nuevos modelos y técnicas de razonamiento utilizando algunos resultados previos del razonamiento temporal cualitativo. Los modelos propuestos se basan en dos formalismos muy utilizados para razonamiento cualitativo: los Problemas de Satisfacción de Restricciones y las Lógicas Modales. Abstract The main goal of this PhD Thesis is to propose improvements to existing models for qualitative spatial reasoning with cardinal direction relations, and to propose new models and reasoning techniques using some previous results from qualitative temporal reasoning. The proposed models are based on two widely used formalisms for Qualitative Reasoning: Constraint Satisfaction Problems and Modal Logics.
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    Sobre las ternas TTF / Pedro Nicolás Zaragoza; director, Manuel Saorín Castaño.
    (Murcia : Universidad de Murcia, Departamento de Matemáticas,, 2007) Nicolás Zaragoza, Pedro
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    The isomorphism problem for rational group rings of finite metacyclic groups
    (Universidad de Murcia, 2024-02-07) García Blázquez, Angel; Río Mateos, Ángel del; Escuela Internacional de Doctorado
    El objetivo principal de esta tesis es presentar una solución al problema de isomorfismo para anillos de grupo. Este problema pregunta si, dados dos anillos de grupo isomorfos definidos sobre el mismo anillo, ha de ser necesario que los grupos base de los anillos de grupo sean isomorfos también. En concreto, se ha trabajado con anillos de grupo racionales sobre grupos metacíclicos finitos. La metodología empleada ha consistido en ir de más específico a más general. Se ha comenzado con el caso en el que los grupos sean p-grupos y se ha utilizado la clasificación preexistente de p-grupos metacíclicos finitos. Después, para la generalización a nilpotentes se ha utilizado teoría de Galois junto con la identificación de las componentes de Wedderburn de los anillos de grupo racionales de grupos metabelianos con pares de Shoda fuertes del grupo dado. Estas herramientas se han vuelto a utilizar para el caso general. Los resultados obtenidos han sido los siguientes. Primero, una clasificación general de los grupos metacíclicos finitos, orientada a dar unos invariantes claros con los que trabajar para resolver el problema original. También se ha construido una implementación en GAP de un paquete de funciones destinado a obtener los invariantes de un grupo metacíclico finito cualquiera, entre otras funcionalidades. Por último, el resultado principal de la tesis es la prueba de que si dos anillos de grupo racionales sobre grupos metacíclicos finitos son isomorfos, necesariamente los grupos han de ser isomorfos también. La tesis está organizada como sigue: En el primer capítulo se introducen los conceptos y la notación que se usarán a lo largo del resto del documento, además de presentar brevemente la ya mencionada correspondencia entre las componentes de Wedderburn de los anillos de grupo racionales de grupos metabelianos con ciertos subgrupos del grupo denominados pares de Shoda, esta correspondencia se utiliza constantemente en el resto de la tesis. El segundo capítulo está destinado a demostrar la clasificación de los grupos metacíclicos finitos, necesaria para la prueba del resultado sobre el caso general del problema del isomorfismo. La clasificación sigue una estrategia similar a la dada por Hempel en 2000. Se diferencia principalmente en los invariantes dados, que dan lugar a una implementación más directa. El tercer capítulo está destinado a la prueba del resultado positivo para los casos p-grupo y nilpotente. Así, el procedimiento consiste en usar información del grupo que puede encontrarse en el álgebra de grupo, como el tamaño y el número de clases de conjugacion, para determinar los invariantes que definen el grupo. Esto puede hacerse pues se tiene una clasificación de los p-grupos metacíclicos finitos con unos invariantes sencillos de manejar. La mayoría de casos proceden de forma directa y para los casos que se complican se utiliza la correspondencia de las componentes de Wedderburn con los pares de Shoda. Para acabar con el caso nilpotente probamos que este caso puede reducirse al caso de p-grupos. En el último capítulo tratamos el caso general: Probar que el anillo de grupo determina cada uno de los invariantes del grupo, que en el capítulo 2 hemos probado que son suficientes para identificar el grupo. Cada uno de los invariantes se demuestra (salvo detalles) siguiendo un procedimiento similar: Suponemos que tenemos dos anillos de grupo isomorfos que pueden venir de distintos grupos y buscamos componentes de Wedderburn determinadas en el anillo de grupo que dependan del parámetro en cuestión, encontramos unos subgrupos de Shoda que puedan corresponderse con esas componentes y restringiendo lo suficiente las condiciones sobre las componentes podemos ver que para que haya subgrupos en los dos grupos el invariante ha de ser igual.